Bounded sequence

sequence $(x_{n})$의 모든 원소의 absolute value가 어떠한 실수 $M > 0$보다 작거나 같은 경우에 Sequence $(x_{n})$는 bounded 라고 한다.

 

모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 $\left | x_{n} \right | \le M$인 실수 $M > 0$이 존재하면 sequence $(x_{n})$은 bounded이다.

 

모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $x_{n} \le A$인 실수 $A$가 존재한다면, sequence $(x_{n})$은 bounded above라고 하고, $A$는 upper bound라고 한다. (upper bound 중에서 가장 작은 upper bounded는 least upper bounded 또는 supremum이라고 한다.)

 

그리고 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 $x_{n} \ge B$인 실수 $B$가 존재한다면, sequence $(x_{n})$은 bounded below라고 하고, $B$는 lower bound라고 한다. (lower bound 중에서 가장 큰 lower bound는 greatest lower bound 또는 infimum이라고 한다.)