수열(Sequence)과 집합의 합(Sum)과 곱(Product)

1. Sequence

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수열(Sequence)은 $N$개의 숫자 또는 변수가 순서대로 나열된 것입니다. 수열의 예를 들어보겠습니다.

$$1,2,3,4$$

$$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6}$$

문자에 붙은 아래 첨자는 인덱스(index)라고 부릅니다. 수열이 아주 길거나 수열의 길이가 숫자가 아닌 문자인 경우에는 ...(dots) 기호를 사용하여 다음처럼 가운데 부분을 생략할 수 있습니다.

$$x_{1},x_{2},...,x_{N}$$

2. Set

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순서가 중요하지 않은 숫자들은 집합(Set)로 표시합니다.

$${1,2,3,4}$$

$${x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6}}$$

집합에서도 원소가 많으면 가운데를 생략할 수 있습니다.

$${x_{1},x_{2},...,x_{N}}$$

데이터분석에서는1부터 까지의수열 또는 집합이 자주 나오기 때문에 위에서 사용한 기호 대신 다음과 같이 더 간단한 기호를 쓰는 경우도 많습니다.

$$x_{1:N}$$

$${x_{i}}_{N}$$

집합에 알파벳 대문자로 이름을 붙일 수도 있다. 데이터 분석에서 자주 나오는 집합 중의 하나는 1, -2, 3.14와 같은 실수(real number) 전체의 집합이다. 실수 집합은 이라는 이름을 가진다. 어떤 숫자 가 실수이면 집합에 포함되므로 다음과 같은 기호로 나타냅니다.

$$x \in R$$

만약 두 개의 숫자로 이루어진 숫자 쌍 $(x_{1},x_{2})$가 있고 각각의 숫자 $x_{1},x_{2}$ 가 모두 실수라면 다음처럼 표시합니다.

$$(x_{1},x_{2}) \in R \times R$$

또는

$$(x_{1},x_{2}) \in R^{2}$$

3. 수열의 Sum and Product

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다음 기호는 수열을 더하거나 곱하는 연산을 짧게 줄여쓴 것입니다..그리스문자의시그마($\sum$)와파이($\prod$)를 본따서 만든 기호지만 시그마와 파이로 읽지 않고 영어로 썸(sum), 프로덕트(product)라고 읽습니다. 합과 곱 기호 아래에는 인덱스의 시작값, 위에는 인덱스의 끝값을 표시합니다. 곱셈은 알파벳 x와 혼동될 수 있기 때문에 $a \times b$가 아니라 $a \cdot b$와 같이 점(dot)으로 표시하거나 아예 생략합니다.

$$\sum_{i=1}^{N}x_{i} = x_{1}+x_{2}+...+x_{N}$$

$$\prod_{i=1}^{N}x_{i} = x_{1}\cdot x_{2} \cdot ... \cdot x_{N}$$

더하기나 곱하기를 반복해서 써야할 때는 합과 곱 기호를 사용하면 수식이 간결하고 명확해집니다. 예를 들어 1부터 4까지 더해야 하는 경우에는 다음처럼 씁니다.

$$\sum_{i=1}^{N}x_{i} = 1+2+3+4$$

만약 10부터 90까지 10씩 증가하는 수열을 모두 더해야 한다면 다음처럼 씁니다.

\[\sum_{k=1}^{9}10_{k} = 10 \cdot 1 + 10 \cdot 2 + ... + 10 \cdot 9 = 10 + 20 + ... + 90\]

곱셈도 마찬가지입니다. 다음은 10부터 20까지의 수를 모두 곱하는 식입니다.

\[\prod_{i=10}^{20} = (10) \cdot (11) ..... (20)\]

합이나 곱을 중첩하여 여러 번 쓰는 경우도 있습니다. 합과 곱을 중첩하여 쓸 때는 다음처럼 괄호를 생략할 수 있다. 합이나 곱이 중첩된 경우에는 인덱스가 여러 개가 됩니다.

$$\sum_{i=1}^{N}(\sum_{j=1}^{M}x_{ij}) = \sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{M}x_{ij}$$