Convex optimization

1.1 Mathematical optimization

---

수학적 최적화 문제, 또는 그냥 최적화 문제는 다음과 같은 형식을 가집니다.

• vector $x=(x_{1},...,x_{n})$ called optimization variable(최적화 변수).
• function $f_0 : R^{n}\rightarrow R$ called objective function(목적함수).
• function $f_{i} : R^{n}\rightarrow R, \ \ i=1,...,m$ called (inequality)constraint functions(부등식)제약함수.
• constant $b_{1},...,b_{m}$ constraints에 대한 limits or bounds.
• vector $x^{*}$은 called solution or optimal.

 

For example, 위의 optimization problem이 objective function과 constraint function $f_{0},...,f_{m}$이 linear일 때 called linear program. 즉, 다음을 만족한다.

$$f_{i}(\alpha x + \beta y)\leq \alpha f_{i}(x) + \beta f_{i}(y)$$

모든 $x, y \in R^{n}$이고 모든 $\alpha, \beta \in R$이다.

If, optimization problem이 linear하지 않다면 called nonlinear program.

 

이 책은 Convex optimization problem이라고 불리는 최적화 문제의 종류에 관한 것이다. Convex optimization problem의 objective function과 constraint는 convex하며, 이는 다음과 같은 부등식을 만족시킨다.

$$f_{i}(\alpha x + \beta y) \leq \alpha f_{i}(x) + \beta f_{i}(y)$$

all $x, y \in R^{n}$, all $\alpha, \beta \in R$에 대해 $\alpha + \beta = 1, \ \alpha \geq 0, \beta \geq 0$이다.

1.1.1 Applications

---