Inverse & Transpose & Symmetric Matrix

$A$라는 행렬의 역행렬(Inverse matrix)은 $A^{-1}$으로 표기한다.

 

Properties)
1. A가 가역 행렬(invertible matrix)이면 $Ax=b$의 유일한 해인 $x=A^{-1}b$가 존재한다.

2. 영벡터가 아닌 $x$가 존재하지만 $Ax=0$이면 $A$의 역행렬은 존재하지 않는다.

3. $2 \times 2$ matrix가 invertible matrix려면 $ad-bc \neq 0$이여야 한다. ($ad-bc$는 determinant이며 $det(A)$가 0이 아닐때 역행렬이 존재한다.)

$$\begin{bmatrix}
a & b\\ 
c &d 
\end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}
d & -b\\ 
-c & a
\end{bmatrix}$$

4. diagonal matrix는 대각성분 중 어느것도 0이 아닐때 역행렬이 존재한다.

 

$A=\begin{bmatrix}
d_{1} &  & \\ 
 & \ddots & \\ 
 &  & d_{n}
\end{bmatrix}$이면, $A^{-1}=\begin{bmatrix}
1/d_{1} &  & \\ 
 & \ddots & \\ 
 &  & 1/d_{n}
\end{bmatrix}$이고 $AA^{-1}=I$이다.

두 invertible matrix의 곱 $AB$의 역 행렬은 $B^{-1}A^{-1}$이다.
$$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$$

Proof) $B^{-1}A^{-1}$이 $AB$의 역 행렬임을 보이기 위해서, 이것들을 곱하고 결합 법칙을 이용해서 괄호를 제거하면 $B$가 $B^{-1}$의 바로 옆에 있음을 확인할 수 있다.
$$(AB)(B^{-1}A^{-1})=ABB^{-1}A^{-1}=AIA^{-1}=AA^{-1}=I,$$
$$(B^{-1}A^{-1})(AB)=B^{-1}A^{-1}AB=B^{-1}IB=B^{-1}B=I$$
비슷한 법칙이 세 개 이상의 행렬에 대해 성립한다.
$$(ABC)^{-1} = C^{-1}B^{-1}A^{-1}$$

Gauss-Jordan Method

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식 $AA^{-1}$를 생각했을 때, 한 열을 한꺼번에 택하면, 이 식은 $A^{-1}$의 각 열을 결정한다. $A^{-1}$의 첫째 열에 $A$를 곱하면, 항등 행렬의 첫째 열을 얻는다. 곧, $Ax_{1}=e_{1}$이다. 마찬가지로 $Ax_{2}=e_{2}$이고 $Ax_{3}=e_{3}$이다. 3 x 3 행렬에서, 다음과 같이 $A$곱하기 $A^{-1}$은 $I$이다.

$$Ax_{i}=  e_{i} \ \ \ \ \ \ \ \begin{bmatrix}
2 & 1 & 1\\ 
4 & -6 & 0\\ 
-2 & 7 & 2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
 &  & \\ 
x_{1} & x_{2} & x_{3}\\ 
 &  & 
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
 &  & \\ 
e_{1} & e_{2} & e_{3}\\ 
 &  & 
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\ 
0 & 1 & 0\\ 
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$$

그러므로 세 개의 (또는 $n$개의) 연립 방정식이 있다. 이 모든 연립 방정식에서 coefficient matrix은 똑같이 $A$이다. 우변의 $e_{1},e_{2},e_{3}$로 서로 다르지만, 소거법을 모든 연립 방정식에 동시에 적용할 수 있다. 이를 $\boldsymbol{Gauss-Jordan \ \ Method}$라고 한다.

$U$에서 멈추고 거꾸로 대입하지 않고 이 방법은 계속해서 한 행의 상부 배를 위의 행에서 뺀다. 그러고 나면 대각선 위의 성분도 0이 되는데 이것이 항등행렬에 도달하게 되면 $A^{-1}$을 얻게 된다.

 

Ex) Gauss-Jordan Method를 이용해서 $A^{-1}$을 찾는 연습

$$\begin{bmatrix}
A & e_{1} & e_{2} & e_{3}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 
4 & -6 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 
-2 & 7 & 2 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \\ pivot = 2 \rightarrow \begin{bmatrix}
2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 
0 & -8 & -2 & -2 & 1 & 0\\ 
0 & 8 & 3 & 1 & 0 & 1
\end{bmatrix}, \\ pivot = -8 \begin{bmatrix}
2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 
0 & -8 & -2 & -2 & 1 & 0\\ 
0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 1
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
U & L^{-1} 
\end{bmatrix}$$
위 triangle matrix $U$가 처음 세 열에 나타나고 나머지 세 열은 $L^{-1}$과 같다.

 

Transpose Matrix

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$A$의 transpose는 $A^{T}$로 나태내는데, 이것들의 열들은 $A$의 행들을 바로 택하여 $A$의 $i$번째 행은 $A^{T}$의 $i$째 열이 된다.

$$transpose \ matrix \ \ \ A = \begin{bmatrix}
2 & 1 & 4\\ 
0 & 0 & 3
\end{bmatrix} \rightarrow \ A^{T} = \begin{bmatrix}
2 & 0\\ 
1 & 0\\ 
4 & 3
\end{bmatrix}$$

$A$가 $m \times n$ 행렬이면, $A^{T}$는 $n \times m$ 행렬이다.

$$Elements \ of \ A^{T} \ \ \ \ \ \ \ \ (A^{T})_{ij}=A_{ji}$$

 

Properties)

1. $AB$의 Transpose matrix는 $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$이다.

2. $A^{-1}$의 Transpose matrix는 $(A^{-1})^{-1}$이다.

Symmetric Matrix

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Symmetric Matrix는 자신의 전치 행렬과 같은 행렬이다. $e.g$ $A^{T}=A$인 행렬이다.

$$Symmetric \ Matrix \ A = \begin{bmatrix}
1 & 2\\ 
2 & 8
\end{bmatrix}, d=\begin{bmatrix}
1 & 0\\ 
2 & 8
\end{bmatrix},A^{-1}=\frac{1}{4}\begin{bmatrix}
8 & -2\\ 
-2 & 1
\end{bmatrix}$$

Symmetric Matrix의 역 행렬이 반드시 존재하지는 않는다. 대칭 행렬은 모든 성분이 0일 수도 있다. 그러나 $A^{-1}$이 존재하면, 이것 또한 대칭 행렬이다.위의 공식 2에 의해 $A^{-1}$의 전치행렬은 $(A^{T})^{-1}$인데, $A$가 대칭 행렬이므로 이것은 바로 $A^{-1}$이다. $A^{-1}$은 자신의 전치 행렬과 같다. 곧 $A$가 대칭 행렬이면 $^{-1}$도 대칭행렬이다.