[Linear algebra] Eigen Value, Eigen Vector

Eigen Value, Eigen Vactor란?

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고유값(eigenvalue), 고유벡터(eigenvector)에 대한 수학정 정의는 다음과 같다.

 

행렬 A를 선형변환(Linear transform)으로 봤을 때, 선형변환 A에 의한 변환 결과가 자기 자신의 상수배가 되는 0이 아닌 벡터 를 고유벡터(eigenvactor)라고 하고, 이 상수배 값을 고유값(eigenvalue)라고 한다.

 

고유값(eigenvalue), 고유벡터(eigenvector)는 $n \times x$ 정방행렬에 대해서만 정의된다. A에 대해 $Av = \lambda v$를 만족하는 0이 아닌 열벡터 v를 고유벡터, 상수 $\lambda$를 고유값이라고 정의한다.

$Av = \lambda v$ -- (1)

$\begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ 
\vdots  & \ddots  & \vdots\\ 
a_{n1} & \cdots & a_{nn}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
v_{1}\\ 
\vdots \\ 
v_{n}
\end{pmatrix}
=
\lambda\begin{pmatrix}
v_{1}\\ 
\vdots \\ 
v_{n}
\end{pmatrix}$-- (2)

 

조금더 정확한 용어로는 $\lambda$는 '행렬 A의 고유값', v는 '행렬 A의 $\lambda$에 대한 고유벡터'이다.

 

즉, 고유값과 고유벡터는 행렬에 따라 정의되는 값으로서 어떤 행렬은 이러한 고유값, 고유벡터가 아예 존재하지 않을수도 있고 어떤 행렬은 하나만 존재하거나 또는 최대 n개까지 존재할 수 있다.

기하학적 의미

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행렬(선형변환 : Linear transform) A의 고유벡터는 선형변환 A에 의해 방향은 보존되고 스케일(scale)만 변화되는 방향 벡터를 나타내고 고유값은 그 고유벡터의 변화되는 스케일의 정도를 나타내는 값이다.

예를 들어, 지구의 자전운동과 같이 3차원 회전변환을 생각했을 때, 이 회전변환에 의해 변하지 않는 고유벡터는 회전축 벡터이고 그 고유값은 1이 될 것이다.