Hyperplane

$u_{1}, u_{2}, ...,u_{n}, v \in \mathbb{R}$이고, 적어도 한개 이상의 $u_{i}$가 0이 아니라고 했을 때, 집합 $x=[x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}]^{T}$ 안의 모든 점들은 아래의 선형 방정식(linear equation)을 만족합니다.

$$u_{1}x_{1} + u_{2}x_{2} + \cdots + u_{n}x_{n} = v$$

우리는 위의 수식을 $\mathbb{R}^{n}$공간의 $\boldsymbol{hyperplane}$이라고 합니다. ($\boldsymbol{hyperplane}$은 아래의 수식으로 설명할 수 있습니다.)

$$\left \{\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n} : \boldsymbol{u}^{T} \boldsymbol{x} = v  \right \}$$

where

$$\boldsymbol{u} = [u_{1}, u_{2}, ..., u_{n}]^{T}$$

일반적으로 $\boldsymbol{hyperplane}$은 원점을 포함하지 않으므로 반드시 $\mathbb{R}^{n}$의 subspace는 아닙니다.

 

$n=2$인 경우에, $\boldsymbol{hyperplane}$의 방정식은 직선의 방정식인 $u_{1}x_{1}+u_{2}x_{2}=v$의 형태를 가지므로, 직선은 $\mathbb{R}^{2}$공간의 $\boldsymbol{hyperplane}$이다. 

$\mathbb{R}^{3}$(three-dimensional space), 에서 $\boldsymbol{hyperplane}$은 평범한 평면이다.

 

$\boldsymbol{hyperplane}$이 $\mathbb{R}^{n}$ 공간의 원점을 포함하도록 변환하면, $\mathbb{R}^{n}$의 subspace가 됩니다. 왜냐하면, subspace의 차원은 $n-1$이기 때문에, 우리는 $\boldsymbol{hyperplane}$ 차원을 $n-1$으로 정의 할 수 있습니다.