초평면 (Hyperplane)

What is Hyperplane?

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초평면의 "초" 는 뛰어넘을 초(超)이며, 평면을 뛰어넘는 평면이라는 뜻임. (Plane에서 확장된 개념)

아래의 두 개의 변수로 만들어진 1차식을 봅시다. 

$$ax+by+c=0$$

위 식은 2차원 평면에 그려지는 직선의 방정식이다.

변수를 하나 추가해보겠습니다.

$$ax+by+cz+d=0$$

위 식은 3차원 공간 상에 그려지는 평면의 방정식입니다.

변수를 하나 더 추가해 보겠습니다.

$$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}+a_{4}x_{4}+c=0$$

위의 식은 어떻게 정의할 수 있을까요? 

$\Rightarrow$ 정의는 "plane"을 일반화하여 "Hyperplane"으로 부르기로 하였습니다. 일차식으로 만들어지는 도형을 전부 "Hyperplane"으로 부르기로 했습니다. 각 "hyperplane"은 그려진 차원을 이용하여 OO차원의 초평면이라고 부릅니다.

 

"line"은 2차원의 "Hyperplane"이고, "Plane"은 3차원의 "Hyperplane"이다. 

n-dimension의 Hyperplane은 아래와 같습니다.

$$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots+a_{n}x_{n}+c=0$$

Properties of Hyperplane

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2dim에 그려진 "hyperplane"은 "line"이다. "line"은 1-dim space이다. 3dim에 그려진 "hyperplane"은 "plane"이다. "plane"은 2-dim space이다.

2-dim에 그려진 "hyperplane" $\rightarrow$ "line" $\rightarrow$ 1dim space

3-dim에 그려진 "hyperplane" $\rightarrow$ "plane" $\rightarrow$ 2dim space

따라서, n-dim에 그려진 "hyperplane"은 n-1 dim space와 같다.

"hyperplane"은 그려진 공간의 차원보다 한 차원 낮은 공간이다.

Where to Use?

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"hyperplane"은 공간을 분할하는 역할을 수행한다. n차원의 hyperplane은 n차원 공간을 분할한다.